Problemas de Matem\u00e1tica selecionados, com alto n\u00edvel de dificuldade, resolvidos.<\/p>\n\n\n\n
Prove, por indu\u00e7\u00e3o, que 2^n > n^2, para todo n > 4<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n Base: Para n = 5, temos 2^5 = 32 > 5^2 = 25.<\/p>\n\n\n\n Hip\u00f3tese de Indu\u00e7\u00e3o: Suponha que 2^k > k^2.<\/p>\n\n\n\n Tese: Para n = k+1, temos: 2^{k+1} = 2.2^k > 2.k^2 (por hip\u00f3tese de indu\u00e7\u00e3o) = k^2 + k^2.<\/p>\n\n\n\n Se mostrarmos que k^2 > 2k + 1, substituindo acima teremos k^2 + k^2 > k^2 + 2k + 1 = (k + 1)^2, e a demonstra\u00e7\u00e3o estar\u00e1 encerrada.<\/p>\n\n\n\n Note que k^2 > 2k + 1 se, e somente se, k^2 – 2k +1 > 2 se, e somente se, (k – 1)^2 > 2. Mas k > 4, de modo que (k – 1)^2 > 3^2 = 9 > 2. Logo, o resultado segue.<\/p>\n\n\n\n Prove, por indu\u00e7\u00e3o, que o n\u00famero de diagonais de um pol\u00edgono com n lados \u00e9 n(n-3)\/2.<\/strong><\/p>\n\n\n\n Base: Para n = 3, a f\u00f3rmula dada fornece n(n-3)\/2 = 3(3-3)\/2 = 0, e sabemos que o tri\u00e2ngulo tem 0 diagonais.<\/p>\n\n\n\n Hip\u00f3tese de Indu\u00e7\u00e3o: Suponha que um pol\u00edgono com k lados tenha k(k-3)\/2 diagonais.<\/p>\n\n\n\n Tese: Considere o pol\u00edgono de k lados A_1A_2…A_k. O pol\u00edgono A_1A_2…A_k tem k(k-3)\/2 diagonais, por hip\u00f3tese de indu\u00e7\u00e3o. Seja a sequ\u00eancia (a_i) definida do seguinte modo: a_1 = 0; a_2 = 1; a_{n+2} = 3a_{n+1} – 2a_n. Encontra uma f\u00f3rmula expl\u00edcita para o n-\u00e9sima termo dessa sequ\u00eancia, e prove por indu\u00e7\u00e3o.<\/strong><\/p>\n\n\n\n Antes de mais nada, vamos testar alguns valores para tentar identificar um padr\u00e3o, e formular uma conjectura, ou seja, um “chute” para a f\u00f3rmula geral da sequ\u00eancia. Finalmente, iremos demonstrar a validade de nossa conjectura, utilizando indu\u00e7\u00e3o.<\/p>\n\n\n\n Temos:<\/p>\n\n\n\n a_1 = 0<\/p>\n\n\n\n a_2 = 1<\/p>\n\n\n\n a_3 = 3a_2 – 2a_1 = 3 . 1 – 0 = 3<\/p>\n\n\n\n a_4 = 3a_3 – 2a_2 = 3 . 3 – 2 . 1 = 7<\/p>\n\n\n\n a_5 = 3a_4 – 2a_ = 3 . 7 – 2 . 3 = 15<\/p>\n\n\n\n …<\/p>\n\n\n\n Neste ponto, j\u00e1 \u00e9 poss\u00edvel perceber que a_n = 2^{n-1} – 1, pelo menos para n at\u00e9 5. Fa\u00e7amos indu\u00e7\u00e3o para provar que essa lei vale para todos os naturais.<\/p>\n\n\n\n Base: Para n = 1, a f\u00f3rmula diz que a_1 = 2^{1-1} – 1 = 0, o que \u00e9 verdade por hip\u00f3tese.<\/p>\n\n\n\n Para n = 2, a f\u00f3rmula diz que a_2 = 2^{2-1} – 1 = 1, o que \u00e9 verdade por hip\u00f3tese.<\/p>\n\n\n\n Note que tivemos de verificar dois casos.<\/p>\n\n\n\n Hip\u00f3tese de Indu\u00e7\u00e3o: Suponha que a f\u00f3rmula vale para n = k e para n = k + 1, isto \u00e9, a_k = 2^{k-1} – 1 e a_{k+1} = 2^k -1.<\/p>\n\n\n\n Note que precisamos supor a validade da f\u00f3rmula para dois valores.<\/p>\n\n\n\n Tese: Para n = k + 2, temos, pela lei da sequ\u00eancia, a_{k+2} = 3a_{k+1} – 2a_k = 3 . (2^k – 1) – 2 . (2^{k – 1} – 1) = 4 . 2^k – 1 = 2^{k+1} – 1, que \u00e9 a f\u00f3rmula conjecturada, para n = k + 1.<\/p>\n\n\n\n Se (1 + x)^10 = a_0 + a_1x + a_2x^2 + … + a_{10}x^{10}, calcule (a_0 – a_2 + a_4 – a_6 + a_8 – a_{10})^2 + (a_1 – a_3 + a_5 – a_7 + a_9)^2.<\/strong><\/p>\n\n\n\n <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problemas de Matem\u00e1tica selecionados, com alto n\u00edvel de dificuldade, resolvidos. Trigonometria Princ\u00edpio de Indu\u00e7\u00e3o Matem\u00e1tica Prove, por indu\u00e7\u00e3o, que 2^n > n^2, para todo n > 4. Base: Para n = 5, temos 2^5 = 32 > 5^2 = 25. Hip\u00f3tese de Indu\u00e7\u00e3o: Suponha que 2^k > k^2. Tese: Para n = k+1, temos: 2^{k+1}… Continue reading Problemas de Matem\u00e1tica<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[32,34,30,40],"tags":[31,33,38],"class_list":["post-1279","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-ciencias","category-educacao","category-matematica","category-programacao","tag-ciencias","tag-educacao","tag-programacao","entry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/professorpaulosouza.com.br\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1279","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/professorpaulosouza.com.br\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/professorpaulosouza.com.br\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/professorpaulosouza.com.br\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/professorpaulosouza.com.br\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1279"}],"version-history":[{"count":4,"href":"https:\/\/professorpaulosouza.com.br\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1279\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1286,"href":"https:\/\/professorpaulosouza.com.br\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1279\/revisions\/1286"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/professorpaulosouza.com.br\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1279"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/professorpaulosouza.com.br\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1279"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/professorpaulosouza.com.br\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1279"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}
Note que, ao adicionarmos o v\u00e9rtice A_{k+1}, formando o pol\u00edgono _1A_2…A_kA_{k+1}, ganhamos k-1 diagonais. De fato, A_{k+1} pode se ligar a qualquer v\u00e9rtice, exceto com ele pr\u00f3prio e com os dois v\u00e9rtices adjacentes (A_1 e A_k), para formar uma diagonal, o que fornece k-2 novas diagonais; e o segmento A_1A_k, que antes era um lado do pol\u00edgono, com a introdu\u00e7\u00e3o de A_{k+1} passa a ser mais uma diagonal, o que resulta em k-1 novas diagonais, o que comprova o afirmado.
Portanto, o novo total de diagonais ser\u00e1 [k(k-3)\/2] + (k-1) = (k+1)[(k+1)-3]\/2, que corresponde \u00e0 f\u00f3rmula n(n-3)\/2 para n = k+1.<\/p>\n\n\n\nN\u00fameros Complexos<\/h2>\n\n\n\n