Problemas de Matemática selecionados, com alto nível de dificuldade, resolvidos.
Trigonometria
Princípio de Indução Matemática
Prove, por indução, que 2^n > n^2, para todo n > 4.
Base: Para n = 5, temos 2^5 = 32 > 5^2 = 25.
Hipótese de Indução: Suponha que 2^k > k^2.
Tese: Para n = k+1, temos: 2^{k+1} = 2.2^k > 2.k^2 (por hipótese de indução) = k^2 + k^2.
Se mostrarmos que k^2 > 2k + 1, substituindo acima teremos k^2 + k^2 > k^2 + 2k + 1 = (k + 1)^2, e a demonstração estará encerrada.
Note que k^2 > 2k + 1 se, e somente se, k^2 – 2k +1 > 2 se, e somente se, (k – 1)^2 > 2. Mas k > 4, de modo que (k – 1)^2 > 3^2 = 9 > 2. Logo, o resultado segue.
Prove, por indução, que o número de diagonais de um polígono com n lados é n(n-3)/2.
Base: Para n = 3, a fórmula dada fornece n(n-3)/2 = 3(3-3)/2 = 0, e sabemos que o triângulo tem 0 diagonais.
Hipótese de Indução: Suponha que um polígono com k lados tenha k(k-3)/2 diagonais.
Tese: Considere o polígono de k lados A_1A_2…A_k. O polígono A_1A_2…A_k tem k(k-3)/2 diagonais, por hipótese de indução.
Note que, ao adicionarmos o vértice A_{k+1}, formando o polígono _1A_2…A_kA_{k+1}, ganhamos k-1 diagonais. De fato, A_{k+1} pode se ligar a qualquer vértice, exceto com ele próprio e com os dois vértices adjacentes (A_1 e A_k), para formar uma diagonal, o que fornece k-2 novas diagonais; e o segmento A_1A_k, que antes era um lado do polígono, com a introdução de A_{k+1} passa a ser mais uma diagonal, o que resulta em k-1 novas diagonais, o que comprova o afirmado.
Portanto, o novo total de diagonais será [k(k-3)/2] + (k-1) = (k+1)[(k+1)-3]/2, que corresponde à fórmula n(n-3)/2 para n = k+1.
Seja a sequência (a_i) definida do seguinte modo: a_1 = 0; a_2 = 1; a_{n+2} = 3a_{n+1} – 2a_n. Encontra uma fórmula explícita para o n-ésima termo dessa sequência, e prove por indução.
Antes de mais nada, vamos testar alguns valores para tentar identificar um padrão, e formular uma conjectura, ou seja, um “chute” para a fórmula geral da sequência. Finalmente, iremos demonstrar a validade de nossa conjectura, utilizando indução.
Temos:
a_1 = 0
a_2 = 1
a_3 = 3a_2 – 2a_1 = 3 . 1 – 0 = 3
a_4 = 3a_3 – 2a_2 = 3 . 3 – 2 . 1 = 7
a_5 = 3a_4 – 2a_ = 3 . 7 – 2 . 3 = 15
…
Neste ponto, já é possível perceber que a_n = 2^{n-1} – 1, pelo menos para n até 5. Façamos indução para provar que essa lei vale para todos os naturais.
Base: Para n = 1, a fórmula diz que a_1 = 2^{1-1} – 1 = 0, o que é verdade por hipótese.
Para n = 2, a fórmula diz que a_2 = 2^{2-1} – 1 = 1, o que é verdade por hipótese.
Note que tivemos de verificar dois casos.
Hipótese de Indução: Suponha que a fórmula vale para n = k e para n = k + 1, isto é, a_k = 2^{k-1} – 1 e a_{k+1} = 2^k -1.
Note que precisamos supor a validade da fórmula para dois valores.
Tese: Para n = k + 2, temos, pela lei da sequência, a_{k+2} = 3a_{k+1} – 2a_k = 3 . (2^k – 1) – 2 . (2^{k – 1} – 1) = 4 . 2^k – 1 = 2^{k+1} – 1, que é a fórmula conjecturada, para n = k + 1.
Números Complexos
Se (1 + x)^10 = a_0 + a_1x + a_2x^2 + … + a_{10}x^{10}, calcule (a_0 – a_2 + a_4 – a_6 + a_8 – a_{10})^2 + (a_1 – a_3 + a_5 – a_7 + a_9)^2.