Resumo de meus estudos sobre Lógica Matemática Proposicional.
Lógica Proposicional: Introdução
Uma sentença é qualquer frase com sujeito, verbo e predicado.
Proposição vem do verbo propor. Em lógica, trata-se de submeter um juízo à apreciação, ou seja, de afirmar algo que possa ser considerado verdadeiro ou falso — mas não é uma pergunta, uma exclamação ou um imperativo.
Proposição é, portanto, uma sentença declarativa que pode ser avaliada em verdadeira ou falsa. Perguntas, exclamações e imperativos não são proposições.
Sentença fechada é uma proposição completa, com valor de verdade determinado (V ou F). Exemplo: “2 é menor que 5”: Verdadeira.
Sentença aberta contém uma variável, e não possui valor de verdade definido até que essa variável receba um valor. Exemplo: “x + 2 > 5”: depende do valor de x.
Princípio da Identidade: Se uma proposição é verdadeira, então ela é verdadeira,
Princípio da Não-Contradição: Uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa.
Princípio do Terceiro Excluído: Uma proposição é verdadeira ou falsa (tertium non datur), não havendo uma terceira possibilidade.
Proposição Simples ou Atômica é aquela que não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma. São designadas por letras latinas minúsculas: p, q, …
A negação de p, representada por ~p, é verdadeira quando p é falsa e é falsa quando p é verdadeira.
Podemos relacionar duas proposições utilizando conectivos lógicos: e, ou, implica, … Fazendo isso, obtemos proposições compostas.
p e q (conjunção) é verdadeiro somente quando ambos p e q são verdadeiros; p ou q (disjunção) é verdadeiro quando pelo menos um entre p e q é verdadeiro (pode ser ambos); se p, então q (condicional) é verdadeiro a menos que o antecedente (p) seja verdadeiro e o consequente (q) seja falso; p se, e somente se, q (bicondicional) é verdadeiro quando ambos p e q têm o mesmo valor verdade.
| p | ~p |
| V | F |
| F | V |
| p | q | p ∧ q |
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | F |
| p | q | p ∨ q |
| V | V | V |
| V | F | V |
| F | V | V |
| F | F | F |
| p | q | p → q |
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | V |
| F | F | V |
| p | q | p ↔ q |
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | V |
Tautologia é uma proposição composta é verdadeira independentemente do valor de verdade das proposições simples que a compõem. Ex.: a negação de uma contradição.
Contradição é uma proposição composta que é falsa independentemente do valor de verdade das proposições simples que a compõem. Ex.: a negação de uma tautologia.
Contingência ou Proposição Indeterminada é uma proposição composta cuja tabela verdade apresenta, na última coluna, os valores V e F, cada um pelo menos uma vez. Em outras palavras, é uma proposição que pode ou não ser verdadeira, e para decidir precisamos ter mais informações.
Obs.: → é o símbolo do conectivo lógico condicional, já ⇒ é o símbolo de uma dedução lógica, ou seja, é uma condicional onde o antecedente é uma premissa e o consequente é uma tese.
A implicação lógica é uma relação de equivalência: reflexiva (p ⇒ p sempre) e transitiva [(p ⇒ q, q ⇒ r) ⇒ (p ⇒ r)].
Negação de Proposições Compostas. Álgebra das Proposições
(Lei de de Morgan) Para negar p e q, negamos cada proposição e trocamos o “e” por “ou”: ~(p e q ) ↔ ~p ou ~q.
(Lei de de Morgan) Para negar p ou q, negamos cada proposição e trocamos o “ou” por “e”: ~(p ou q ) ↔ ~p e ~q.
A negação de p → q é p e ~q (compare as tabelas verdade).
A negação de p ↔ q é o ou exclusivo, [(p ou q) e ~(p e q)].
Propriedades da conjunção:
A multiplicação está para a aritmética assim como a conjunção está para a lógica.
- Idempotente: p e p ⇔ p.
- Comutativa: p e q ⇔ q e p.
- Associativa: (p e q) e r ⇔ p e (q e r).
- O elemento neutro (que na multiplicação de números seria o 1) é a tautologia: p e t ⇔ p (onde t é uma tautologia).
- Não existem inversos!
- O elemento absorvente (que na multiplicação de números seria o 0) é a contradição: p e c ⇔ c (onde c é uma contradição).
Propriedades da disjunção:
A adição está para a aritmética assim como a disjunção está para a lógica.
- Idempotente: p ou p ⇔ p.
- Comutativa: p ou q ⇔ q ou p.
- Associativa: (p ou q) ou r ⇔ p ou (q ou r).
- O elemento neutro (que na adição de números seria o 0) é a contradição: p ou c ⇔ p.
- Não existem simétricos!
- O elemento absorvente (que não existe na adição de números) é a tautologia: p ou t ⇔ t.
Propriedades da conjunção e da disjunção:
Em breve
O conjunto das proposições, munido das operações binárias de conjunção e disjunção, e da operação unária de negação, forma uma estrutura algébrica chamada Álgebra de Boole. É uma estrutura algébrica como qualquer outra: grupo, anel, corpo, … Mas é diferente de todas essas.